Contrairement aux formes géométriques simples (lignes droites, cercles), les formes géométriques des fissures dans les matériaux sont irrégulières et complexes. La fissuration est donc difficile sinon impossible à formaliser avec la Mécanique de la Rupture classique. La Dimension Fractale permet de mesurer la complexité géométrique des fissures. Elle quantifie le degré d’irrégularité et de fragmentation des fissures, offrant une meilleure caractérisation des surfaces de rupture ainsi que de la fissuration.
La Mécanique de la Rupture Fractale améliore la compréhension, la modélisation et la prédiction des comportements de rupture et permet la conception de matériaux plus fiables. La Mécanique de la Rupture Fractale nécessite une grande maitrise des fractales afin de pouvoir les appliquer à la Mécanique de la Rupture classique.
Pourquoi : Rupture des Matériaux
Déficiences dans la Fiabilité des Sciences Classiques de la Rupture
Tout matériau est appelé naturellement à s’endommager, se micro-fissurer, et finalement se rompre dans le temps à cause des contraintes qu’il subit de la part de son environnement. En 1983, le NBS (Bureau National des Standards des USA), aujourd’hui le NIST (Institut National des Sciences et Technologies), a estimé les coûts des ruptures des matériaux à 119 milliards de dollars[i].
Les accidents spectaculaires peuvent aussi arriver. Ils sont plus tragiques. On les voie toujours à la une des médias. On peut citer entre autres les accidents sur la navette spatiale ou le supersonique Concorde qui ont mis fin à ces deux projets ambitieux. Il faut rajouter aux coûts économiques, les coûts inestimables des pertes humaines. Pour des raisons humaines, sociales, industrielles et économiques, la rupture des matériaux reste le problème fondamental de ce siècle.
Ces accidents sont une preuve que les sciences des matériaux actuelles sont à la limite de leurs capacités. Il est difficile de rajouter quelques millièmes de fiabilité aux structures sinon à des coûts faramineux. Le problème se situe au niveau de la limite de nos outils de conception pour l’analyse de la rupture.
Ces sciences sont basées sur les principes du siècle passé ou des années cinquante; résistance de matériaux, théorie de l’élasticité, mécanique des milieux continues, mécanique de la rupture, mécanique de l’endommagement, fiabilité des structures, simulations numériques et techniques expérimentales.
La vision réductrice des sciences est un héritage de la révolution industrielle qui cherche dans le macroscopique des prédictions « acceptables et conservatives » pour construire des outils, des machines et des systèmes pour répondre à une demande explosive d’industrialisation. Les facteurs de sécurité encore utilisés sont une illustration de notre facteur d’ignorance.
L’approche de la Mécanique de la Rupture[ii], malgré son grand succès, ne peut répondre à des exigences de fiabilité plus sévères, car elle ne peut ni « expliquer » ni « prévoir » correctement le cycle d’initiation et de propagation de la fissure qui est responsable de la dégradation au niveau des « microfissures », des lacunes, des défauts interstitiels, des défauts de Frankel et de Schottky, des dislocations, des macles, des joints de grains, des précipités, etc. Pour palier à ces problèmes, La mécanique de l’endommagement va jusqu’à ces niveaux granulaires grâce à une analyse thermodynamique des processus irréversibles. Cette analyse reste toutefois largement probabiliste, complexe et insuffisante.
Les lacunes des théories actuelles sont illustrées par les innombrables « lois » de propagation des fissures qui prolifèrent. La liste est ouverte et les énigmes restent totales. Les centaines de « lois » analytiques existantes n’ont rajouté que peu de précision et surtout aucune lumière « physique ». Les lois ne sont valables que pour un matériau, un environnement et un chargement déterminé. Certaines lois n’ont pas de fondements théoriques microscopiques. Les « lois » sont certes nécessaires pour les industries intéressées par les « données » sur leurs structures matérielles, mais la physique fondamentale n’y trouve aucune valeur. Ces lois sont devenues un exercice infini d’essais, de résolutions numériques, de lissages mathématiques et de simulations virtuelles.
Pour prendre en charge la nature stochastique des chargements, des modèles probabilistes ont émergés mais n’ont rajouté que très « plus » de fiabilité. Les méthodes expérimentales donnent l’impression d’un aveugle qui est condamné à tout toucher (expérimenter) pour tout voir, sans rien prévoir.
Les prédictions restent toujours insuffisantes. Les tentatives de compréhension abstraites ne sont pas financées à cause des exigences de profit immédiat de l’industrie. Les composants sont conçut pour une petite durée de vie afin de permettre leurs remplacement et donc consommation.
Déficiences principales de la Mécanique de la Rupture classique
Les lois mathématiques de géométrie classique, héritages des penseurs de l’antiquité, ne permettent pas de construire des modèles satisfaisants des objets naturels complexes. Ces outils formels ne peuvent traiter la complexité du monde réel. Tout le monde sait que les nuages ne sont pas des sphères, que les montagnes ne sont pas des cônes et que les éclairs ne se déplacent pas en ligne droite.
Voici les principales déficiences de la Mécanique de la Rupture classique :
– Simplification géométrique : Les fissures sont modélisées comme des surfaces géométriques simples, planes et lisses. Ceci ne correspond pas à la réalité avec des formes géométriques complexes de fissures.
– matériaux hétérogènes: La mécanique de la rupture classique est inadaptée pour les matériaux composites ou biologiques, qui présentent des propriétés anisotropes, des interfaces multiples et des structures complexes. Les matériaux avec des microstructures non uniformes, comme les bétons ou les céramiques, ne sont pas bien modélisés.
– effets thermiques : Dans des environnements à haute température, comme dans les centrales nucléaires, les effets thermiques sur la propagation des fissures sont complexes, mal-compris et donc sous-estimés.
– conditions dynamiques : Les modèles classiques sont plutôt conçus pour des situations statiques et ne capturent pas bien les effets dynamiques comme les impacts à haute vitesse, les vibrations ou les cycles de fatigue rapide.
– complexité dans le chargement : l’analyse du signal et l’analyse probabiliste (type Weibull) doit faire place à l’analyse complexe (fractale, ondelettes…)
– complexité de l’évolution : La théorie du chaos doit prendre la place de l’analyse moyenne de Boltzmann, pour les régimes stationnaires
– comportement chaotique de toutes les fissures : Les chemins de propagation des fissures dans des matériaux complexes peuvent être aléatoires ou chaotiques, ce qui échappe à la modélisation classique.
– analyse atomique ; présence de micro-défauts locaux qui influent sur les macro-fissures et qui ne sont pas pris dans l’évolution et la propagation des fissures.
– effet d’échelle ; La propagation des fissures implique des mécanismes locaux (microfissures, délamination) et globaux (fractures macroscopiques) qui sont souvent décorrélés dans la mécanique classique. On doit faire le passage (re-normalisation) entre les propriétés micro et les propriétés macro (à toutes les échelles) grâce à la géométrie fractals (auto- similarité, récurrence…).
L’analyse complexe de la rupture commence à partir de l’échelle atomique du matériau et remonte à l’échelle macroscopique tout en tenant compte de l’effet d’échelle (re-normalisation) et des non-homogénéités du matériau. Coupler les comportements microscopiques (microfissures) avec les phénomènes macroscopiques est essentiel pour des prédictions plus robustes.
Les microfissures sont difficiles à déterminer expérimentalement durant les premiers stages microscopiques d’initiation. Leur détection, dimensionnement, comptage, propagation ou bifurcation rendent le travail de suivi un vrai cauchemar. Les délais d’inspections restent toujours conservatifs pour assurer une fiabilité acceptable. La sécurité est obtenue au profit de l’optimum économique.
Il devient donc nécessaire d’améliorer la sécurité et l’efficacité des matériaux, des structures et des systèmes par l’utilisation de nouvelles méthodes et techniques d’investigation (conception, simulation et expérimentation) qui permettent d’approfondir les connaissances. La Mécanique de la Rupture Fractale promet de répondre aux déficiences de la Mécanique de la Rupture classique.
[i] Anderson T.L. (1991), Fracture Mechanics, Fundamentals and Applications, CRC Press, Boca Raton.
[ii] – Barsom JM ed. (1987), Fracture Mechanics Retrospective, ASTM, Philadelphia.
– Collins J.A. (1981), Failure of Material in Mechanical Design, Wiley.
Ce livre est donc divisé en deux parties :
La première partie donne les fondements des Fractales à maitriser :
- Fractale, Chaos et Complexité
- Géométrie Fractale
- Croissance Fractale
La deuxième partie introduit les Fractales dans la Mécanique de la Rupture :
- Rupture Fractale
- Mécanique de la Rupture Fractale Élastique
- Mécanique de la Rupture Fractale Élasto-Plastique
Ce livre est conçu pour les étudiants afin de maitriser les principes fondamentaux des Fractales et leurs applications dans la Mécanique de la Rupture. Il relie des concepts mathématiques à des applications concrètes. Il peut aussi les accompagner ensuite dans leurs recherches et leurs activités futures en Engineering, car de nombreuses références bibliographiques sont présentées et qui leur permettent d’approfondir leurs analyses particulières